Enunciado

Encontre a série de Taylor de f ( x )   centrada no valor dado de a . [Suponha que   f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = x

a = 16

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo numa boa?

A série de Taylor é da forma:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! ( x - a ) n

Onde a f n a é a enésima derivada da nossa função no nosso ponto a , que para nós é a = 16 . A gente obtém esse termo derivando nossa função n vezes.

Os termos da série de Taylor são do formato:

f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 + …

A questão quer que a gente encontre a série de Taylor de f ( x ) que no nosso caso é:

f x = x

Centrada em a = 16 e seu raio de convergência R .

Então precisamos encontrar f n a derivando várias vezes f ( x ) e substituirmos no termo geral de uma série de Taylor, aquela primeira equação desse passo 1.

Por fim, quando a gente precisar encontrar o Raio de convergência, o que precisamos achar é basicamente para quais valores de x nossa série vai convergir. Como a série em questão que será uma série de Taylor e já vimos ali em cima que ela vai ter um termo fatorial, vamos usar o Teste da Razão, pois simplifica bastante nossa vida nesses casos. Relembrando o Teste: Calculamos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Se: L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente). Se L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ ) e caso L = 1 → o teste é inconclusivo.

Mão na massa!

Passo 2

O enunciado nos deu que:

a = 16

E que:

f x = x

Agora vamos achar os valores de:

f n 16

Para cada derivada de f x .

n é a ordem da derivada. Então quando n = 0 temos a própria função, já que ainda não foi derivada. Quando n = 1 é a primeira derivada, quando n = 2 temos a segunda derivada que é a derivada de n = 1 derivada mais uma vez, e assim sucessivamente.

Como são muitas derivadas, vamos organizar tudo em uma tabela. Aqui f n x é o valor da função derivada n vezes e   f n 16 é f n x com x = a = 16 .

Então vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = a , neste caso a = 16 .

Passo 3

Lembra que estamos fazer isso para encontrar f n 16 , né? Agora, precisamos usar esses valores para achar um termo geral de f n 16 para qualquer valor de n .

Vamos escrever os termos da série, dentro daquele formato que apresentamos no passo 1. Podemos escrever f ( x ) usando os valores das derivadas que encontramos no passo 2, temos:

x   = f 16 + f ' 16 x + f ' ' ( 16 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 16 3 !   x 3 + f 4 ( 16 ) 4 ! x 4 + ⋯  

Usando os dados do passo 1, temos:

4 0 ! x - 16 0 + 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ x - 16 1 1 ! - 1 4 ⋅ 1 4 3 ⋅ x - 16 2 2 ! + 3 8 ⋅ 1 4 5 ⋅ x - 16 3 3 ! + ⋯

Podemos achar o padrão, de forma geral para as derivadas: Vemos que a partir do termo n = 2 os termos da soma seguem um certo padrão:

  • Os denominadores são os valores de n ! do termo e os expoentes das potências de x - 16 , também.
  • Já as derivadas f n 16 são do formato tem forma de fração:
    • Numerador: multiplicações dos números ímpares de 1 até 2 n - 3 , como um fatorial.
    • Denominador: potência de base 2 5 n - 2

Em termos de série, podemos escrever:

4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n  

Passo 4

Aqui teremos:

a n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n

E:

a n + 1 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 1 x - 16 n + 1 2 5 n - 3 n + 1 !

Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o seguinte critério, já escrevendo a divisão de grações como uma multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 1 x - 16 n + 1 2 5 n - 3 ( n + 1 ) ! ⋅ 2 5 n - 2 n ! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 x - 16 n  

Abrindo termos com somas nos expoentes e o termo fatorial do denominador:

lim n → ∞ ⁡ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 1 x - 16 n ⋅ ( x - 16 ) 2 5 n ⋅ 2 - 3 ⋅ n + 1 ⋅ n ! ⋅ 2 5 n ⋅ 2 - 2 ⋅ n ! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 x - 16 n

Cancelando os termos, ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 ⋅ ( x - 16 ) 2 - 3 ⋅ n + 1 ⋅ 2 - 2 2 n - 3

Podemos retirar o módulo dos termos que dependem de n , uma vez que n é sempre positivo:

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 | x - 16 | 2 5 ( n + 1 ) 2 n - 3 = | x - 16 | 32 l i m n → ∞ 2 n - 1 n + 1 ⋅ ( 2 n - 3 )    

Dividindo o numerador e denominador por n , temos:

| x - 16 | 32 l i m n → ∞ 2 - 1 n 1 + 1 n 2 - 3 n = | x - 16 | 16 ⋅ 2 2 < 1

Como o Teste da Razão diz que L < 1 para que a série seja convergente e nós temos:

L = | x - 16 | 16 < 1

Portanto, para convergência temos que

x - 16 < 16

Logo R = 16 .

Resposta

4 + 1 8 x - 16 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 2 n - 3 2 5 n - 2 n ! x - 16 n  

R = 16

.

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